Question

4．已知拋物線x²=2py的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4}$，函數(shù)f（x）=sinωx的周期為4，則拋物線與函數(shù)f（x）在第一象限所圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A． $\frac{6-π}{3π}$
• B． 1
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{4-π}{2π}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求出p的值，再根據(jù)三角函數(shù)的周期求出ω的值，求出在第一象限的交點坐標(biāo)，根據(jù)定積分即可求出答案．

解答 解：∵拋物線x²=2py的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{p}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴y=x²，
∵函數(shù)f（x）=sinωx的周期為4，
∴4=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，
要求拋物線與函數(shù)f（x）在第一象限的交點坐標(biāo)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=sin\frac{ωx}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴拋物線與函數(shù)f（x）在第一象限所圍成的封閉圖形的面積為S=${∫}_{0}^{1}$（sin$\frac{π}{2}$x-x²）dx=（-$\frac{2}{π}$cos$\frac{πx}{2}$-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）=$\frac{6-π}{3π}$，
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)和三角函數(shù)的周期，以及定積分的計算，屬于中檔題．