Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足g（-2）=

1

4

，又函數(shù)f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是定義域為R的奇函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性（無需證明），并求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)g（x）=a^x（a＞0且a≠1），由g（-2）=

1

4

，得a^-2=

1

4

，解得a=2．故g（x）=2^x．則f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

=

-2x+n

2x+1+m

，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出m、n的值；
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

，易知f（x）=在R上是減函數(shù)．根據(jù)2^x＞0，推出-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，故函數(shù)f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

）；
（3）對任意的t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，則f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，因此t²-2t＞k-2t²，化為k＜3t²-2t在t∈R上恒成立?k＜（3t²-2t）_min，此函數(shù)為二次函數(shù)，求出最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（-2）=

1

4

，∴a^-2=

1

4

，解得a=2．∴g（x）=2^x．
∴f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

=

-2x+n

2x+1+m

，
∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴-2⁰+n=0，∴n=1，∴f（x）=

-2x+1

2x+1+m

又f（-1）=f（1），∴

-2-1+1

2-1+1+m

=-

-21+1

21+1+m

，解得m=2
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

，∴f（x）=在R上是減函數(shù)．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，∴-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的值域為（-

1

2

，

1

2

）；
（3）∵對任意的t∈R不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
∴t²-2t＞k-2t²，化為k＜3t²-2t在t∈R上恒成立?k＜（3t²-2t）_min，t∈R．
令g（t）=3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，∴g（t）_min=-

1

3

．
∴k＜-

1

3

，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）．

點評：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．