Question

一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h₁，h₂，h，則h₁：h₂：h=

 

．

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，幾何體是一個棱長都相等的斜三棱柱，四棱錐的高是P到AD的距離；三棱錐的高及三棱柱的高都是三棱錐的高；不難求得結(jié)果．

解答：解：由題意作圖如圖，幾何體是一個棱長都相等的斜三棱柱，
設(shè)棱長為1，四棱錐是棱長都相等的正四棱錐，三棱錐是一個正四面體
四棱錐的高是P到面AC的距離，P點到線段AD的距離是

3

2

，令P在底面AC上的身影為0，連接AO，則AO=

2

2

，故PO=

PA2-AO2

=

12-( 2 2 )2

=

2

2

；
三棱錐的高就是P點到面SBC的距離，令P點在面SBC上的身影為M，則M是三角形的重心，故SM=

2

3

 × 

3

2

=

3

3

故PM=

PS2-SM2

=

12-( 3 3 )2

=

6

3

；
三棱柱的高也是PM=

6

3

．
因而h₁：h₂：h=

2

2

：

6

3

：

6

3

=

1

2

：

3

3

：

3

3

故答案為：

1

2

：

3

3

：

3

3

點評：本題考查簡單幾何體的有關(guān)知識，考查空間想象能力，考查同學(xué)的想圖、視圖能力，是基礎(chǔ)題．