精英家教網(wǎng)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E為BC上一動點(不與B重合),作EF⊥AB于F,F(xiàn)E的延長線交DC的延長線于點G,設(shè)BE=x,△DEF的面積為S.
(1)求證:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)當(dāng)E運動到何處時,S有最大值,最大值是多少?
分析:(1)要證明△BEF∽△CEG,只需要證明∠BFG=∠G,且∠BEF=∠CEG,即可;
(2)由(1)知DG為△DEF中EF邊上的高,在Rt△BFE中,∠B已知,EF可求;在Rt△CEG中,CE=3-x,則GC可求,
∴DG=GC+CD可求,∴△DEF的面積S可表示出來;
(3)函數(shù)S是二次函數(shù),二次項系數(shù)a=-
3
8
<0
,對稱軸x=
11
2
,易得x=3時,S取最大值,是3
3
解答:(1)證明:∵EF⊥AB,AB∥DC,∴EF⊥DG.∴∠BFG=∠G=90°.
又∵∠BEF=∠CEG,∴△BEF∽△CEG;
(2)解:由(1)得DG為△DEF中EF邊上的高,設(shè)BE=x,
在Rt△BFE中,∠B=60°,EF=BEsinB=
3
2
x

在Rt△CEG中,CE=3-x,GC=(3-x)cos60°=
3-x
2
,∴DG=DC+GC=
11-x
2
,
S=
1
2
EF•DG=-
3
8
x2+
11
3
8
x
,(其中0<x≤3);
(3)解:∵a=-
3
8
<0
,對稱軸x=
11
2
>3,∴當(dāng)0<x≤3時,S隨x的增大而增大,
所以,當(dāng)x=3時,即E與C重合時,取最大值:Smax=3
3
點評:本題考查了相似三角形的證明,三角形的面積公式應(yīng)用和求二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是(  )
A、
AB
=
DC
B、
AD
+
AB
=
AC
C、
AB
-
AD
=
BD
D、
AD
+
CB
=
0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平行四邊形ABCD,
AD
=a
,
AB
=b
,M為AB的中點,點N在DB上,且
DN
=t
NB

(1)當(dāng)t=2時,證明:M、N、C三點共線;
(2)若M、N、C三點共線,求實數(shù)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平行四邊形ABCD中,
AB
=
a
,
AD
=
b
,
AN
=3
NC
,則
BN
=
-
1
4
a
+
3
4
b
-
1
4
a
+
3
4
b
(用
a
b
表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平行四邊形ABCD中,若
OA
=
a
,
OB
=
b
則下列各表述是正確的為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平行四邊形OABC中,點O是原點,點A和點C的坐標(biāo)分別是(3,0)、(1,3),點D是線段AB上的中點.
(1)求AB所在直線的一般式方程;
(2)求直線CD與直線AB所成夾角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案