Question

某公司從2009年起開(kāi)始投開(kāi)始投入技術(shù)改進(jìn)資金，經(jīng)技術(shù)改進(jìn)后，其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：

年度	2009	2010	2011	2012
投入技改資金x（萬(wàn)元）	2.5	3	4	5
產(chǎn)品成本y（萬(wàn)元/件）	7.2	6	4.5	4

（1）分析表中數(shù)據(jù)，判斷x，y的函數(shù)關(guān)系用下面哪個(gè)函數(shù)模型描述最好：
①y=ax+b；②y=mlgx+n；③y=

k

x

+t．并求出它的解析式；
（2）按照這種變化規(guī)律，若打算在2013年把每件產(chǎn)品成本降低到3.2萬(wàn)元，則需要投入技改資金多少萬(wàn)元？（參考數(shù)據(jù)：lg2.5=0.4，lg3=0.48，lg4=0.60）

Answer 1

分析：（1）把（2.5，7.2），（3，6）分別代入三個(gè)模型計(jì)算得到解析式，再把x=4代入所得到的解析式驗(yàn)證即可知道哪個(gè)模型描述的最好．
（2）由（1）可知：x，y的函數(shù)關(guān)系用模型y=

18

x

描述較好．由

18

x

=3.2解出即可．

解答：解：（1）①當(dāng)函數(shù)模型為y=ax+b時(shí)，把（2.5，7.2），（3，6）代入得2.5a+b=7.2，3a+b=6，
解得a=-2.4，b=13.2，函數(shù)模型為y=-2.4x+13.2．把x=4代入得y=3.6；
②當(dāng)函數(shù)模型為y=mlgx+n時(shí)，把（2.5，7.2），（3，6）代入得mlg2.5+n=7.2，mlg3+n=6，
解得m=-15，n=13.2，函數(shù)模型為y=-15lgx+13.2．把x=4代入得y=4.2；
③當(dāng)函數(shù)模型為y=

k

x

+t時(shí)，把（2.5，7.2），（3，6）代入得得

k

2.5

+t=7.2，

k

3

+t=6，
解得k=18，t=0，函數(shù)模型為y=

18

x

，把x=4代入得y=4.5．
綜上可知，x，y的函數(shù)關(guān)系用模型y=

18

x

描述較好．
（2）由

18

x

=3.2解得x=5.625，
故打算在2013年把每件產(chǎn)品成本降低3.2萬(wàn)元，需投入技改資金5.625萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用“待定系數(shù)法”求函數(shù)模型解析式、方程的思想等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．