分析 (Ⅰ)通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值推出結(jié)果.
(Ⅱ)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,結(jié)合分析法以及(1)的結(jié)論證明即可.
解答 證明:(Ⅰ)設(shè)f(x)=lnx+1x−1,
則f′(x)=1x−1x2=x−1x2.
所以當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
所以f(x)min=f(1)=0,
所以lnx≥1−1x.…(4分)
(Ⅱ)(1)當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊為ln2,右邊為12=ln√e,顯然ln2>ln√e,所以左>右;
…(6分)
(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),有ln(k+1)>12+13+…+1k+1,…(7分)
現(xiàn)欲證ln(k+2)>12+13+…+1k+1+1k+2,
只需證明ln(k+1)<ln(k+2)−1k+2,只需證明ln(k+2k+1)>1k+2=1−k+1k+2=1−1k+2k+1,
由(Ⅰ)可得x≠1時(shí),恒有lnx>1−1x,因?yàn)?\frac{k+2}{k+1}≠1,所以ln(\frac{k+2}{k+1})>1-\frac{1}{{\frac{k+2}{k+1}}}成立.…(11分)所以ln(k+1+1)=ln(k+2)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+1+1}綜合(1),(2)可得ln(n+1)>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}$(n∈N+)成立.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12+32i | B. | 1 | C. | 2 | D. | √102 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ②③都不能為系統(tǒng)抽樣 | B. | ②④都不能為分層抽樣 | ||
C. | ①④都可能為系統(tǒng)抽樣 | D. | ①③都可能為分層抽樣 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 廢品率每增加1%,生鐵成本增加258元 | |
B. | 廢品率每增加1%,生鐵成本增加2元 | |
C. | 廢品率每增加1%,生鐵成本每噸增加2元 | |
D. | 廢品率不變,生鐵成本為256元 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2√2 | B. | 3√2 | C. | 2√2-2 | D. | 3√2-2 |
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