Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，

3

2

），離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，點M是橢圓C的右頂點．直線AM與直線BM分別與y軸交于點P，Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，

3

2

），離心率為

3

2

，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）（k≠0）代入橢圓方程，求出P，Q的坐標，利用以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點N（x₀，0），則等價于

PN

•

QN

=0恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=1．
所以橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1．                   …（4分）
（Ⅱ）以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點．
直線y=k（x-1）（k≠0）代入橢圓可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

．
又因為點M是橢圓C的右頂點，所以點M（2，0）．
由題意可知直線AM的方程為y=

y1

x1-2

（x-2），故點P（0，-

2y1

x1-2

）．
直線BM的方程為y=

y2

x2-2

（x-2），故點Q（0，-

2y2

x2-2

）．
若以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點N（x₀，0），則等價于

PN

•

QN

=0恒成立．
又因為

PN

=（x₀，

2y1

x1-2

），

QN

=（x₀，

2y2

x2-2

），
所以

PN

•

QN

=x₀²+

2y1

x1-2

•

2y2

x2-2

=0恒成立．
又因為（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=

4k2

1+4k2

，
y₁y₂=k（x₁-1）（x₂-1）=

-3k2

1+4k2

，
所以x₀²+

2y1

x1-2

•

2y2

x2-2

=x02-3=-0．
解得x₀=±

3

．
故以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點（±

3

，0）．    …（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查恒過定點問題，綜合性強．