Question

（本題滿分12分）
已知動圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）圓，圓心的坐標(biāo)為，半徑.
∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi).        
設(shè)動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
即.                                              
∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓,設(shè)其方程為
, 則.∴.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為. …………………………………4分
(2)由 消去化簡整理得：
設(shè)，，則……………………………………6分
△. ①
由 消去化簡整理得：.
設(shè)，則,
△. ② ……………………………………8分
∵，∴，即，
∴.∴或.解得或……… 10分                                                                  
當(dāng)時(shí),由①、②得 ，
∵Z,，∴的值為 ，，;
當(dāng)，由①、②得 ，
∵Z,，∴.
∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

略