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4.經(jīng)過點(diǎn)M(1,32)作直線l交橢圓x24+y23=1于A、B兩點(diǎn),且M為弦AB的中點(diǎn).
(1)求直線l的方程;
(2)求弦AB的長(zhǎng).

分析 (1)設(shè)出A,B的坐標(biāo),代入橢圓方程,利用“點(diǎn)差法”求出AB所在直線的斜率,再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案;
(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出A,B的坐標(biāo),由兩點(diǎn)間的距離公式求解.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x124+y123=1x224+y223=1,
兩式作差得:x124x224=y223y123,
x1x2x1+x24=y1y2y1+y23,
y1y2x1x2=3x1+x24y1+y2
∵M(jìn)(1,32)弦AB的中點(diǎn),
y1y2x1x2=3×24×3=32
∴所求直線l的方程:y-32=32x1,即y=-32x+3;
(2)聯(lián)立{y=32x+3x24+y23=1,解得{x=0y=3{x=2y=0
則|AB|=022+302=7

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.

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