Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=

4n

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），可得n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，即可證明；
（2）由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），∴n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4)，
化為an=2an-1+3×2n-1，
變形為

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，
∴數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

a1

2

=1，公差為

3

2

；
（2）解：由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，
∴b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

6

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]
=

1

6

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

1

12n+8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．