Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：（其中為常數(shù)）.

（1）若曲線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線上的點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）．

【解析】

試題消去參數(shù)把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用公式把曲線的極坐標(biāo)方

程化為直角坐標(biāo)方程，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以得出曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的的范圍；（2）直線

N:，設(shè)M上點(diǎn)為，，則 ，由此可求

得最小值．

試題解析：對(duì)于曲線M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線是拋物線的一部分； 對(duì)于曲線N，化成直角坐標(biāo)方程為，曲線N是一條直線． （2分）

（1）若曲線M,N只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線N過(guò)點(diǎn)時(shí)滿足要求，并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足要求；相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，由，得 ，求得．綜合可求得的取值范圍是：或． （6分）

（2）當(dāng)時(shí)，直線N:，設(shè)M上點(diǎn)為，，則

，

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，滿足，所以所求的最小距離為． （10分）