Question

直線L經過P（5，5），其斜率為k，L與圓x²+y²=25相交，交點分別為A，B．
（1）若|AB|=4

5

，求k的值；         
（2）若|AB|＜4

5

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用點斜式求得直線L的方程，利用弦長公式求得弦心距d=

5

．再由點到直線的距離公式求得弦心距d=

|0-0+5-5k|

k2+1

，從而求得k的值．
（2）由于 |AB|＜4

5

，半徑為r=5，可得弦心距d＞

52-(2 5 )2

，即

|0-0+5-5k|

k2+1

＞

5

，由此求得k的范圍．再由弦心距d小于半徑，再求得k的范圍．再把這兩個k的范圍取交集，可得所求的k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得，直線L的方程為 y-5=k（x-5），即 kx-y+5-5k=0．
再根據半徑為r=5，半弦長為2

5

，可得弦心距d=

52-(2 5 )2

=

5

．
再由點到直線的距離公式可得 弦心距d=

5

=

|0-0+5-5k|

k2+1

，解得 k=2，或 k=

1

2

．
（2）由于 |AB|＜4

5

，半徑為r=5，可得弦心距d＞

52-(2 5 )2

=

5

，
即 d=

|0-0+5-5k|

k2+1

＞

5

，化簡可得2k²-5k+2＞0，解得k＞2，或 0＜k＜

1

2

．
再由弦心距 d=

|0-0+5-5k|

k2+1

＜r=5，求得k＞0．
綜上可得，k∈(0，

1

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，注意利用半徑、弦心距、半弦長之間的關系，屬于中檔題．