如圖,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABACABAC2,A1A4,點DBC的中點.

(1)求異面直線A1BC1D所成角的余弦值;

(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.

 

(1) (2)

【解析】

解 (1)A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,-4)(1,-1,-4).因為cos,〉=,所以異面直線A1BC1D所成角的余弦值為.

(2)設平面ADC1的法向量為n1(x,y,z),因為(1,1,0),(0,2,4),所以n1·0,n1·0,即xy0y2z0,取z1,得x2,y=-2,所以,n1(2,-2,1)是平面ADC1的一個法向量.取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0),設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.

|cos θ|,得sin θ.

因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.

 

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A14 B13

C12 D10

 

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(2)BCSA.

 

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(2)已知點P(0,1),Q(0,2),設M,N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點,直線PMQN相交于點T.求證:點T在橢圓C上.

 

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