Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，g（x）=ln（e^x-1）-lnx，若存在m＞0，使f（g（m））＞f（m）成立，則a的取值范圖是（1，+∞）．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導(dǎo)數(shù)求得a的范圍．

解答 解：e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當(dāng)x＞0時，y=e^x-x-1遞增，
即有e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構(gòu)造函數(shù)H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則H（x）＞H（0），
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
即g（x）＜x在x＞0時恒成立，
當(dāng)a＞1時，e^x-ax-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-a，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，lna）上單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜lna時，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），
所以滿足題意的a的取值范圍是（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，考查單調(diào)性的運用和存在性問題的解法，屬于中檔題．