Question

數(shù)列{a_n}中，對任意自然數(shù)n，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

等于（　�。�

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）²
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意易得a_n=2^n-1，可判{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=2¹-1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)上式也適合，∴a_n=2^n-1，
∴

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4
∴{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

（4ⁿ-1）
故選：D

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．