Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若，且在上恒成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若，且在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）（3）

【解析】

（1）由得，對其求導(dǎo)，用導(dǎo)函數(shù)方法判斷其單調(diào)性即可；

（2）由得，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；當(dāng)，由分離參數(shù)的方法得到恒成立，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)的方法求出其最小值，即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)題中條件，將在上存在零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷，進(jìn)而得到，再令，對其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，得出最小值，即可求出結(jié)果.

【解】（1）當(dāng)時，，所以.

令，得.

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0,2），單調(diào)增區(qū)間為.

（2）因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時，由恒成立，

則有當(dāng)，即時，恒成立；

當(dāng)，即時，，

所以.

綜上，.

當(dāng)時，由恒成立，即恒成立.

設(shè)，則.

令，得，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以，所以.

綜上所述，b的取值范圍是.

（3）.

因?yàn)?/span>u(x)在上存在零點(diǎn)，所以在上有解，

即在上有解.

又因?yàn)?/span>，即，

所以在上有解.

設(shè)，則，

令，得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，即，所以，

因此.

設(shè)，則，

同理可證：，所以，

于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，故.