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（2012•泉州模擬）設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知sin(A-
π6
)=cosA．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．
分析：解法一：（Ⅰ）由已知利用兩角差的正弦公式展開可求tanA，結合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得b=
a•sinB
sinA
=
4
3
sinB，c=
a•sinC
sinA
=
4
3
sinC，則有b+c=
4
3
(sinB+sinC)，結合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后結合和差角及輔助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，結合（I）中A可得，b，c的關系，然后利用基本不等式即可求
解答：解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos
π
6
-cosA•sin
π
6
=cosA，…（2分）
故sinA=
3
cosA，tanA=
3
．…（4分）
又0＜A＜π，
所以A=
π
3
．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=
a•sinB
sinA
=
4
3
sinB，c=
a•sinC
sinA
=
4
3
sinC，…（7分）
故b+c=
4
3
(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(
2π
3
-B)=sinB+sin
2π
3
•cosB-cos
2π
3
•sinB=
3
2
sinB+
3
2
cosB
=
3
sin(B+
π
6
)．…（10分）
所以b+c=4sin(B+
π
6
)．
因為0＜B＜
2π
3
，所以
π
6
＜B+
π
6
＜
5π
6
．
∴當B+
π
6
=
π
2
即B=
π
3
時，sin(B+
π
6
)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3(
b+c
2
)2≤4，…（10分）
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，當且僅當b=c，即△ABC為正三角形時，b+c取得最大值4．…（12分）
點評：本小題主要考查兩角和與差的三角函數公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．
練習冊系列答案
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12
的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數f（x）的導函數．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個正數x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結論．

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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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