Question

16．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x-y+xy≥2，則|x+y|的最小值是2．

Answer 1

分析 作出曲線(xiàn)（x-1）（y+1）=1的圖象的圖象，由題意可得|x+y|即為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到直線(xiàn)x+y=0的距離的$\sqrt{2}$倍的最小值．可得與曲線(xiàn)相切，且與直線(xiàn)x+y=0平行的直線(xiàn)距離的$\sqrt{2}$倍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率，求得切點(diǎn)，代入即可得到所求最小值．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x-y+xy≥2，
即為（x-1）（y+1）≥1，
作出曲線(xiàn)（x-1）（y+1）=1的圖象，
由題意可得|x+y|即為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到直線(xiàn)x+y=0的距離的$\sqrt{2}$倍的最小值．
可得與曲線(xiàn)相切，且與直線(xiàn)x+y=0平行的直線(xiàn)距離的$\sqrt{2}$倍
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
由y=$\frac{1}{x-1}$-1的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
即有切線(xiàn)的斜率為-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$=-1，
解得m=2，或m=0（舍去）
切點(diǎn)為（2，0），
則|x+y|的最小值為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．