Question

已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量平移后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴對x∈R，f（-x）=f（x）恒成立
∴sin（-ωx+φ-）=sin（ωx+φ-），
即-sinωxcos（φ-）+cosωxsin（φ-）=sinωxcos（φ-）+cosωxsin（φ-），
∴sinωxcos（φ-）=0，
∵ω＞0且x∈R
∴cos（φ-）=0，
又∵0＜φ＜π，
∴φ-=，
∴f（x）=2sin（ωx+φ+）=2cosωx，
依題意=2•=π，
∴ω=2．
∴f（x）=2cos2x…（4分）
∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴cos2x∈[-1，]，
∴f（x）∈[-2，1]…（7分）
（2）依題意g（x）=f（-）=2cos[2（-）]=2cos（-），
由2kπ≤-≤2kπ+π（k∈Z）得：4kπ+≤x≤4kπ+（k∈Z）
∴g（x）的單調(diào)減區(qū)間為[4kπ+≤x≤4kπ+]（k∈Z）…（13分）
分析：（1）利用f（x）為偶函數(shù)，由f（-x）=f（x），利用兩角和的正弦可得cos（φ-）=0，從而結(jié)合題意可求得φ，由其周期可求得ω，從而得到解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得x∈[，]時(shí)，f（x）的取值范圍；
（2）由三角函數(shù)的圖象變換可求得函數(shù)g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查兩角和的正弦，求φ是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．