Question

7．函數(shù)f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$+2）（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1）的值域是[$\sqrt{2}$+2，8]．

Answer 1

分析 確定函數(shù)定義域，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)定義域x∈[-1，1]，令$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$=u，
因?yàn)閤∈[-1，1]，所以2≤u²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤4，所以$\sqrt{2}$≤u≤2，
y=$\frac{{u}^{3}}{2}+{u}^{2}$，所以y′=$\frac{3}{2}{u}^{2}+2u$在[$\sqrt{2}$，2]上單調(diào)遞增，
因?yàn)閡=$\sqrt{2}$時(shí)，y=$\sqrt{2}$+2，u=2時(shí)，y=8
所以該函數(shù)值域?yàn)閇$\sqrt{2}$+2，8]．
故答案為：[$\sqrt{2}$+2，8]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確換元是關(guān)鍵．