Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+2x分別在x=-1和x=

2

3

處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象在x=

1

2

處的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)：f′（x）=3ax²+2bx+2，由題意得：

3a-2b+2=0 2a+2b+3=0

，解得：a=-1，b=-

1

2

，從而函數(shù)解析式為：f（x）=-x³-

1

2

x²+2x；
（2）由（1）得；f′（x）=-3x²-x+2，而f′（

1

2

）=-3×(

1

2

)2-

1

2

+2=

3

4

，從而f（

1

2

）=-(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

．則所求切線方程為：y-

3

4

=

3

4

（x-

1

2

）．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+2，
由題意得：

3a-2b+2=0 2a+2b+3=0

，
解得：a=-1，b=-

1

2

，
∴f（x）=-x³-

1

2

x²+2x；
（2）由（1）得；f′（x）=-3x²-x+2，
∴f′（

1

2

）=-3×(

1

2

)2-

1

2

+2=

3

4

，
∴f（

1

2

）=-(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

．
則所求切線方程為：y-

3

4

=

3

4

（x-

1

2

），
即：6x-8y+3=0．

點評：本題考察了函數(shù)的極值問題，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程問題，本題是一道基礎(chǔ)題．