Question

13．已知函數(shù)f（x）=s-ke^-x的圖象在x=0處的切線方程為y=x．
（1）求s，k的值；
（2）若$g（x）=mlnx-{e^{-x}}+\frac{1}{2}{x^2}-（m+1）x+1（m＞0）$，求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={e^{{a_{n+1}}}}f（{a_n}）$，證明：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，f'（0）=1，解方程可得s=k=1；
（2）求得f（x）的解析式，可得h（x），求出導(dǎo)數(shù)，討論0＜m＜1，m=1，m＞1，解不等式即可得到所求范圍；
（3）數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，等價為a_n+1＜a_n，即為${e^{{a_{n+1}}}}＜{e^{a_n}}$，即為$\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}＜{e^{a_n}}$即${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
令t（x）=e^x-x-1（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即有t（x）單調(diào)遞增，故${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，即可得證．

解答 解：（1）由題意得f（0）=0，f'（0）=1，
則　$\left\{\begin{array}{l}s-k=0\\ k=1\end{array}\right.$，
解得s=1，k=1；
（2）由（1）可得f（x）=1-e^-x，
由題意得$h（x）=mlnx+\frac{1}{2}{x^2}-（m+1）x（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{m}{x}+x-（m+1）=\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
①當(dāng)0＜m＜1時，令h'（x）＞0，解得0＜x＜m或1＜x，
所以h（x）在（0，m）和（1，+∞）上單調(diào)遞增；
令h'（x）＜0，解得m＜x＜1，
所以h（x）在（m，1）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)m=1時，h'（x）≥0，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)m＞1時，令h'（x）＞0，解得0＜x＜1或m＜x，
所以h（x）在（0，1）和（m，+∞）上單調(diào)遞增；
令h'（x）＜0，解得1＜x＜m，所以h（x）在（1，m）上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)0＜m＜1時，h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，m）和（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（m，1）；
當(dāng)m=1時，h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)m＞1時，h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，1）和（m，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（1，m）．
（3）證明：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_n}={e^{{a_{n+1}}}}f（{a_n}）$，
∴${e^{{a_{n+1}}}}=\frac{a_n}{{f（{a_n}）}}=\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}$，
數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，等價為a_n+1＜a_n，
即為${e^{{a_{n+1}}}}＜{e^{a_n}}$，
即為$\frac{a_n}{{1-{e^{-{a_n}}}}}＜{e^{a_n}}$
即${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
令t（x）=e^x-x-1（x＞0），
∵t'（x）=e^x-1＞0（x＞0）
∴t（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴t（x）＞t（0）=0，即e^x＞x+1，
故${e^{a_n}}＞{a_n}+1$，
∴{a_n}是遞減數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，以及單調(diào)性的運(yùn)用，同時考查構(gòu)造法，屬于中檔題．