Question

13．若（x$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）此展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？

Answer 1

分析 （1）由題意可得$C_n^1+C_n^3=2C_n^2$，解方程可求n；
（2）先寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后令x的次方為0，求出r即可判斷．

解答 解：（1）由$C_n^1+C_n^3=2C_n^2$，（n≥3）得：$n+\frac{n（n-1）（n-2）}{6}=2×\frac{n（n-1）}{2}$；
化簡(jiǎn)得：n²-9n+14=0，解得：n=7，或n=2（舍），
因此，n=7---------（6分）
（2）由${T_{r+1}}=C_7^r•{（{x^{\frac{3}{2}}}）^{7-r}}•{（{x^{-4}}）^r}=C_7^r•{x^{\frac{21-11r}{2}}}$，（r∈N，且0≤r≤7）
當(dāng)$\frac{21-11r}{2}=0$時(shí)，$r=\frac{21}{11}∉N$，
所以此展開(kāi)式中不存在常數(shù)項(xiàng)．---------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)性質(zhì)及展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．