Question

16．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$的零點(diǎn)為x₀，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． $ln{x_0}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}＞{2^{x_0}}$
• B． ${2^{x_0}}＞ln{x_0}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}$
• C． ${2^{x_0}}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}＞ln{x_0}$
• D． ${x_0}^{\frac{1}{2}}＞{2^{x_0}}＞ln{x_0}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)零點(diǎn)的定義以及判定定理，求得x₀∈（1，2），可得∴${2}^{{x}_{0}}$、$\sqrt{{x}_{0}}$、lnx₀ 的大小關(guān)系．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$的零點(diǎn)為x₀，則x₀＞0，且lnx₀ =$\frac{1}{{x}_{0}}$．
再根據(jù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，f（1）=-1＜0，f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，f（1）•f（2）＜0，
可得x₀∈（1，2），${2}^{{x}_{0}}$＞2，$\sqrt{{x}_{0}}$∈（1，2），lnx₀∈（ 0，ln2），
∴${2}^{{x}_{0}}$＞$\sqrt{{x}_{0}}$＞lnx₀，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的定義以及判定定理，屬于基礎(chǔ)題．