Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點(diǎn)且與該曲線交于A，B兩點(diǎn)，若

OA

+

OB

與向量

n

=（-3，-1）共線，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  4

  3

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的左焦點(diǎn)和直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到a²=3b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為（-c，0），
斜率為1的直線方程設(shè)為y=x+c，
代入雙曲線的方程得（b²-a²）x²-2a²cx-a²c²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2c

b2-a2

，y₁+y₂=x₁+x₂+2c=

2a2c

b2-a2

+2c=

2b2c

b2-a2

，
若

OA

+

OB

與向量

n

=（-3，-1）共線，則有y₁+y₂=

1

3

（x₁+x₂），
即有a²=3b²，即c²=a²+b²=

4

3

a²，
即e=

c

a

=

2 3

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．