Question

求滿足下列條件的圓錐曲線方程：
（1）a=4，c=

15

，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）焦點(diǎn)為（0，-6），（0，6），且過(guò)點(diǎn)（2，-5）的雙曲線；
（3）準(zhǔn)線方程為x=-1的拋物線．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由a=4，c=

15

，可得b²=a²-c²即可；
（2）設(shè)所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．由于雙曲線的焦點(diǎn)為（0，-6），（0，6），且過(guò)點(diǎn)（2，-5），
可得

c=6 25 a2 - 4 b2 =1 c2=a2+b2

，解得即可．
（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0）．由于準(zhǔn)線方程為x=-1，可得-

p

2

=-1．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵a=4，c=

15

，∴b²=a²-c²=1，
故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+y2=1．
（2）設(shè)所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
∵雙曲線的焦點(diǎn)為（0，-6），（0，6），且過(guò)點(diǎn)（2，-5），
∴

c=6 25 a2 - 4 b2 =1 c2=a2+b2

，解得

a2=20 b2=16

故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

20

-

y2

16

=1．
（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0）．
∵準(zhǔn)線方程為x=-1，∴-

p

2

=-1，解得p=2．
故所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓雙曲線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．