Question

如圖，在正方體AC₁中，E、F分別是AB和AA₁的中點(diǎn)，則下列命題：
①E、C、D₁、F四點(diǎn)共面；  
②CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)；
③EF和BD₁所成的角為45°；
④A₁B∥平面CD₁E；
⑤B₁D⊥平面CD₁E．
其中，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2 個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①兩直線平行，即兩直線共面，所以四點(diǎn)共面．
②三線共點(diǎn)，先說明兩直線相交，再證明第三條直線過交點(diǎn)．
③求異面直線夾角，過已知直線上一點(diǎn)，作另一條直線的平行線，已知直線與所作直線的夾角即為異面直線所成的角．
④、⑤是線面平行和垂直，利用判定定理就可以了．

解答： 解：①∵EF∥CD₁∴EF與CD₁共面．①正確；
②∵EC∥CD₁且EF≠CD₁，∴EC與D₁F必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，
∵M(jìn)∈EC，EC⊆平面ABCD，∴M∈平面ABCD；又∵M(jìn)∈FD₁，F(xiàn)D₁⊆平面ADD₁A₁，∴M∈平面ADD₁A₁，
∴M為兩平面的公共點(diǎn)，平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，∴M∈AD，∴CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)．②正確；
③∵EF∥CD₁，∴EF與BD₁所成的角為∠CD₁B，∴EF和BD₁所成的角≠45°．③錯(cuò)誤；
④∵A₁B∥CD₁，CD₁⊆平面CD₁E，而A₁B不在平面內(nèi)，∴A₁B∥平面CD₁E．④正確；
⑤∵B₁D與BC不垂直，∴B₁D與平面CD₁E不垂直．⑤錯(cuò)誤．
所以①②④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：立體幾何中，點(diǎn)線面的位置關(guān)系是�？嫉�，做題時(shí)應(yīng)借助圖形，能比較直觀的判斷．