Question

已知中心在原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為F（-1，0）的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(

2

，-

6

2

)，橢圓的右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)B，C．
（1）求橢圓的方程；
（2）若△ABC的面積為

18

7

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題中條件列出關(guān)于a，b的方程組，通過解方程組即可求得a，b的值即可；
（2）先對(duì)直線l的斜率進(jìn)行討論，若直線l⊥x軸，則l的方程為：x=-1，不合；若直線l不與x軸垂直，
可設(shè)l的方程為：y=k（x+1）．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式），最后求出三角形的面積，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)（1分）
由題設(shè)知

a2-b2=1 2 a2 + 3 2 b2 =1

，解得：

a=2 b= 3

（5分）
因此，橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1.（6分）

（2）若直線l⊥x軸，則l的方程為：x=-1，
此時(shí)B、C的坐標(biāo)為(-1，

3

2

)、(-1，-

3

2

).
由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），則△ABC的面積為

9

2

.不合題意，舍去：（7分）
若直線l不與x軸垂直，可設(shè)l的方程為：y=k（x+1）．
則直線與橢圓恒有兩交點(diǎn)．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0（8分）
記B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則有

x1+x2=- 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

，（9分）
由于|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(1+k2)

3+4k2

點(diǎn)A到直線l的距離為

|3k|

1+k2

，（11分）
將上面兩式代入△ABC的面積公式可得：

1

2

•

12(1+k2)

3+4k2

•

|3k|

1+k2

=

18

7

2

，（12分）
整理得：17k⁴+k²-18=0（13分）
解得：k2=-

18

7

（舍去），k²=1故k=±1，
從而，直線l的方程為：y=±（x+1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、點(diǎn)到直線的距離、橢圓方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、方程思想．涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）．屬于中檔題．