Question

11．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系得曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的參數(shù)方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）將曲線C₁向右移動1個單位得到曲線C₃，求C₃與C₂交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）參數(shù)方程通過消參轉化為普通方程，再求出其極坐標方程；
（2）通過平移，得出C₃的普通方程和C₂的普通方程，求出交點，再轉化為極坐標即可．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}x=3+5cost\\ y=5+5sint\end{array}\right.$消去參數(shù)t得普通方程為（x-3）²+（y-5）²=25…（1分）
即 C₁：x²+y²-6x-10y+9=0，…（2分）
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$…（3分）
代入x²+y²-6x-10y+9=0得ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0；
所以C₁極坐標方程為ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．…（5分）
（2）C₃的普通方程為（x-4）²+（y-5）²=25即x²+y²-8x-10y+16=0…（6分）
C₂的普通方程為x²+y²-2y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-8x-10y+16=0\\{x^2}+{y^2}-2y=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$…（8分）
所以C₃與C₂交點的直角坐標為$（{1，1}）_{\;}^{\;}，（{0，2}）$．
所以C₃與C₂交點的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和（2，$\frac{π}{2}$）…（10分）

點評 本題考查了極坐標系和極坐標與參數(shù)方程，普通方程的綜合應用．