求證：函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（A≠0,ω≠0）為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ（k∈Z）.

思路分析：充要條件的證明要從兩方面證：充分性和必要性.在證明時要分清命題的題設與結論，明確充分性與必要性.

證明：充分性：

∵φ=kπ,∴y=Atan（ωx+φ）=Atan（ωx+kπ）=Atanωx,

又∵f（－x）=Atan（－ωx）=－Atanωx=－f（x），

∴y=tanωx是奇函數(shù).

必要性：

∵函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）,

即Atan（－ωx+φ）=－Atan（ωx+φ）,A≠0,ω≠0.

原式可化為tan（ωx－φ）=tan（ωx+φ）,

∴.

∴tanωx－tan2ωxtanφ－tanφ+tanωxtan2φ

=tanωx+tanφ+tan2ωxtanφ+tanωxtan2φ.

∴2tanφ+2tan2ωxtanφ=0.

∴2tanφ（1+tan2ωx）=0.

∴tanφ=0.∴φ=kπ,k∈Z.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標軸的交點分別是點A，B，且以點A，B為切點的切線互相平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)F(x)=g(x)+
1x
，求函數(shù)F（x）的極值；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差，求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）對于定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足xf′（x）+2f（x）＜0，求證：函數(shù)y=x2f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）請你認真研讀（1）中命題并聯(lián)系以下命題：若f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數(shù)，滿足xf′（x）+f（x）＜0，則y=xf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)．然后填空建立一個普遍化的命題：設f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數(shù)，n∈N+，若
x
x
×f′（x）+n×f（x）＜0，則
y=xnf（x）
y=xnf（x）
是（0，+∞）上的減函數(shù)．
注：命題的普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合．
（3）證明（2）中建立的普遍化命題．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)x
和g（x）=x-1-ln（x+1）
（I）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說明理由；
（II）求證：函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（2，3）上有唯一零點；
（III）當x＞0時，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立，其中g'（x）是g（x）導函數(shù)，求正整數(shù)k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•武漢模擬）（1）已知函數(shù)m（x）=ax2e-x （a＞0），求證：函數(shù)y=m（x）在區(qū)間[2，+∞）上為減函數(shù)．
（2）已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax，g（x）=ex，若在（0，+∞）上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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