Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，且滿足a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設bn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數，n∈N^*），試確定λ的值，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=a_n+1，n∈N^*，可得數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列，從而求得數列{a_n}的通項公式．
（II）先求出{b_n}的通項公式，由條件可得（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，分n為奇數和n為偶數分別求出λ的取值范圍，再由λ為非零整數，可得λ的值．

解答：解：（I）∵a_n+1=a_n+1，n∈N^*，∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*…（2分）
∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．  …（4分）
∴a_n=n+1…（5分）
（ II）∵a_n=n+1，
∴bn=4n+(-1)n-1λ•2n+1． …（6分）
∴要使b_n+1＞b_n恒成立，
只要bn+1-bn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．   …（8分）
（�。┊攏為奇數時，即λ＜2^n-1恒成立，由于當且僅當n=1時，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1． …（10分）
（ⅱ）當n為偶數時，即λ＞-2^n-1恒成立，當且僅當n=2時，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2…（12分）
綜上知-2＜λ＜1，再由λ為非零整數，可得λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．        …（13分）

點評：本題主要考查數列的函數特性，函數的恒成立問題，等差數列的通項公式的應用，屬于基礎題．