【題目】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，且面積的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)作的垂線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn).證明：直線(xiàn)平分線(xiàn)段.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓方程.

（2）由題意設(shè)，，，線(xiàn)段的中點(diǎn).則，①易知平分線(xiàn)段；②，，因點(diǎn)，在橢圓上，根據(jù)點(diǎn)差法整理得，所以，直線(xiàn)平分線(xiàn)段.

詳解：解：（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)面積最大.

∴有，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設(shè)，，，線(xiàn)段的中點(diǎn).

則，，

由（Ⅰ）可得，則直線(xiàn)的斜率為.

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，由橢圓性質(zhì)易知平分線(xiàn)段，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率.

∵點(diǎn)，在橢圓上，，

整理得：，

又，，

∴，直線(xiàn)的斜率為，

∵直線(xiàn)的斜率為，

∴直線(xiàn)平分線(xiàn)段.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)h（x）= 圖象對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由，并類(lèi)比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的60名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：

喜歡統(tǒng)計(jì)課程

不喜歡統(tǒng)計(jì)課程

合計(jì)

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計(jì)

30

30

60

（1）判斷是否有99.5％的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中任選3人，求恰有2個(gè)男生和1個(gè)女生的概率．

下面的臨界值表供參考：

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)．

（1）若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；

（2）若直線(xiàn)交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：
p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；
p3：數(shù)列 是遞增數(shù)列；
p4：數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列；
其中真命題是（ ）
A.p1 ， p2
B.p3 ， p4
C.p2 ， p3
D.p1 ， p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線(xiàn)PA、PB互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，則C的離心率e= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為其標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，則__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某社區(qū)為了解居民喜歡中華傳統(tǒng)文化是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了60位居民，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示,

喜歡

不喜歡

合計(jì)

大于45歲

26

6

32

25歲至45歲

13

15

28

合計(jì)

39

21

60

（Ⅰ）是否有99.5%以上的人把握認(rèn)為喜歡中華傳統(tǒng)文化與年齡有關(guān)？

（Ⅱ）按年齡采用分層抽樣的方法從喜歡中華傳統(tǒng)文化的受調(diào)查居民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步了解，若從這6位居民中任選2人，求這2人的年齡均大于45歲的概率.

附：

0.025

0.010

0.005

0，001

5.024

6.635

7.879

10.828

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