【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,

(Ⅰ)求證:直線(xiàn)平面;

(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正切值;

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上,且二面角的余弦值為,求點(diǎn)到底面的距離.

【答案】()證明見(jiàn)解析;();().

【解析】

()由題意利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;

()建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量,然后求解線(xiàn)面角的正切值即可;

()設(shè),由題意結(jié)合空間直角坐標(biāo)系求得的值即可確定點(diǎn)到底面的距離.

()由菱形的性質(zhì)可知

由線(xiàn)面垂直的定義可知:,且,

由線(xiàn)面垂直的判定定理可得:直線(xiàn)平面

()以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AP方向?yàn)?/span>y,z軸正方向,如圖所示,在平面ABCD內(nèi)與AD垂直的方向?yàn)?/span>x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則:,

則直線(xiàn)PB的方向向量,很明顯平面的法向量為,

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為

,.

()設(shè),且,

由于,

故:,據(jù)此可得:

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

設(shè)平面CMB的法向量為:,則:

,

據(jù)此可得平面CMB的一個(gè)法向量為:

設(shè)平面MBA的法向量為:,則:

,

據(jù)此可得平面MBA的一個(gè)法向量為:

二面角的余弦值為,故:

整理得 ,

解得:.

由點(diǎn)M的坐標(biāo)易知點(diǎn)到底面的距離為或者.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫(gè)數(shù);

(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段,求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù);

(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.

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