【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,.
(Ⅰ)求證:直線(xiàn)平面;
(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正切值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上,且二面角的余弦值為,求點(diǎn)到底面的距離.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由題意利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量,然后求解線(xiàn)面角的正切值即可;
(Ⅲ)設(shè),由題意結(jié)合空間直角坐標(biāo)系求得的值即可確定點(diǎn)到底面的距離.
(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可知,
由線(xiàn)面垂直的定義可知:,且,
由線(xiàn)面垂直的判定定理可得:直線(xiàn)平面;
(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AP方向?yàn)?/span>y軸,z軸正方向,如圖所示,在平面ABCD內(nèi)與AD垂直的方向?yàn)?/span>x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則:,
則直線(xiàn)PB的方向向量,很明顯平面的法向量為,
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,
則,.
(Ⅲ)設(shè),且,
由于,
故:,據(jù)此可得:,
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
設(shè)平面CMB的法向量為:,則:
,
據(jù)此可得平面CMB的一個(gè)法向量為:,
設(shè)平面MBA的法向量為:,則:
,
據(jù)此可得平面MBA的一個(gè)法向量為:,
二面角的余弦值為,故:,
整理得 ,
解得:.
由點(diǎn)M的坐標(biāo)易知點(diǎn)到底面的距離為或者.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若對(duì),都有()成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的半焦距為,左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,拋物線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),若四邊形是菱形,則橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,平面,,,,以,為鄰邊作平行四邊形,連接和.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使平面與平面垂直?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng),是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為,分別有五個(gè)級(jí)別:,暢通;,基本暢通;,輕度擁堵;,中度擁堵;,嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫(gè)數(shù);
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段,求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù);
(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn),求的值;
②當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),且(),求證:當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹(shù)的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費(fèi)用(單位:百元)滿(mǎn)足如下關(guān)系:,且投入的肥料費(fèi)用不超過(guò)5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)百元.已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克(即16百元/百千克),且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)為(單位:百元).
(1)求利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí),該水蜜桃樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).
(1)若的定義域是,求的值;
(2)若是奇函數(shù),解關(guān)于x的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A. 消耗1升汽油,乙車(chē)最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車(chē)中,甲車(chē)消耗汽油最多
C. 甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油
D. 某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下,在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油
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