Question

已知向量

OA

=(cosα，sinα)，把向量

OA

繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋圍θ角得到向量

OB

(0°＜θ＜90°)，則下列說法不正確的為（　　）

• A．|

  OA

  +

  OB

  |=|

  OA

  -

  OB

  |
• B．|

  OA

  |+|

  OB

  |＞|

  OA

  -

  OB

  |
• C．(

  OA

  +

  OB

  )⊥(

  OA

  -

  OB

  )
• D．

  OA

  、

  OB

  在

  OA

  +

  OB

  方向上的投影相等

Answer 1

分析：如圖，作出以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB，根據(jù)題意可得到四邊形OACB是菱形且不是矩形．然后根據(jù)矩形的對角線相等，得到A項(xiàng)不正確；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得到B項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的對角線互相垂直得到C項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)和向量投影的概念，得到D項(xiàng)正確．由此得到正確答案．

解答：解：如圖，根據(jù)向量加法的平等四邊形法則，可得
設(shè)OC是以O(shè)A、OB為鄰邊的平等四邊形的對角線，則有

OA

+

OB

=

OC

，
又由向量減法的三角形法則，得

OA

-

OB

=

BA

．
由于向量

OA

繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋圍θ角得到向量

OB

，
且角θ∈（0°，90°），所以四邊形OACB是菱形且不是矩形．
接下來說明各項(xiàng)的正誤及其原因：
對于A，由于四邊形OACB不是矩形，它的對角線不相等，即

|OC|

≠

|BA |

，
也就是|

OA

+

OB

|≠|(zhì)

OA

-

OB

|，故A不正確；
對于B，在三角形OAC中，有

|OA|

+

|AC|

＞

|OC|

，而向量

AC

=

OB

，因此有|

OA

|+|

OB

|＞|

OA

-

OB

|，故B正確；
對于C，因?yàn)樗倪呅蜲ACB是菱形，所以對角線BA與OC互相垂直，因此有(

OA

+

OB

)⊥(

OA

-

OB

)，故C正確；
對于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得到

OA

在

OC

上的投影等于

|OA|

cos∠COA，

OB

在

OC

上的投影等于

|OB|

cos∠COB，因?yàn)樗倪呅蜲ACB是菱形，所以O(shè)C是∠AOB的平分線，即cos∠COA=cos∠COB，所以有

|OA|

cos∠COA=

|OB|

cos∠COB，
可得

OA

、

OB

在

OA

+

OB

方向上的投影相等，故D正確．
綜上所述，中只有A項(xiàng)是不正確的．
故選A

點(diǎn)評：本題借助于一個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)向量，來判斷它們和和向量與差向量的位置關(guān)系與大小比較，著重考查了向量加法、減法的法則和向量投影的概念，屬于基礎(chǔ)題．