【題目】已知函數(shù)(,且).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使得(是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2).
【解析】
試題分析:(1)先對求導,對分情況討論,都得到在上是增函數(shù), ,∴的解集為,的解集為,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由已知條件得出,轉化成求函數(shù)的最值,分類討論得出結果.
試題解析:解:(1)
∵當時,,在上是增函數(shù),
當時,,在上也是增函數(shù),
∴當或時,總有在上是增函數(shù),
又,∴的解集為,的解集為,
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2)∵存在,使得成立,
而當時,,
∴只要即可.
又∵,,的變化情況如下表所示:
0 | |||
0 | |||
減函數(shù) | 極小值 | 增函數(shù) |
∴函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
∴當時,的最小值,
的最大值為和中的最大者.
∵,
令,
∵,∴在上是增函數(shù).
而,故當時,,即;
當時,,即.
∴當時, ,即,
函數(shù)在上是增函數(shù),解得;
當時,,即,
函數(shù)在上是減函數(shù),解得.
綜上所述,所求的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為方便市民休閑觀光,市政府計劃在半徑為200米,圓心角為的扇形廣場內(nèi)(如圖所示),沿邊界修建觀光道路,其中分別在線段上,且兩點間距離為定長米.
(1)當時,求觀光道段的長度;
(2)為提高觀光效果,應盡量增加觀光道路總長度,試確定圖中兩點的位置,使觀光道路總長度達到最長?并求出總長度的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽,為此需要對他們的射箭水平進行測試.現(xiàn)這兩名學生在相同條件下各射箭10次,命中的環(huán)數(shù)如下:
甲 | 8 | 9 | 7 | 9 | 7 | 6 | 10 | 10 | 8 | 6 |
乙 | 10 | 9 | 8 | 6 | 8 | 7 | 9 | 7 | 8 | 8 |
(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差;
(2)比較兩個人的成績,然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點分別為線段上的點,.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:當點不與點重合時,平面;
(3)當,時,求點到直線距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的值域;
(2)已知,函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為坐標原點,橢圓:的左、右焦點分別為,右頂點為,上頂點為, 若成等比數(shù)列,橢圓上的點到焦點的最短距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設為直線上任意一點,過的直線交橢圓于點,且,求的最小值.
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【題目】一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動,其落點坐標依次是,(如圖所示,坐標以已知條件為準),表示青蛙從點到點所經(jīng)過的路程.
(1)若點為拋物線()準線上一點,點均在該拋物線上,并且直線經(jīng)過該拋物線的焦點,證明.
(2)若點要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,試寫出(不需證明);
(3)若點要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的表達式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中且,.
(I)若,且時,的最小值是-2,求實數(shù)的值;
(II)若,且時,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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