Question

（本題滿(mǎn)分16分）設(shè)函數(shù)．

（1），，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）， ，若對(duì)一切恒成立，求的最小值的表達(dá)式；

 

Answer 1

（1）， ， ；（2）

【解析】

試題分析：（1）在已知a和b的條件下很容易求出函數(shù)的表達(dá)式：，接著題目的難點(diǎn)出現(xiàn)了：如何去掉絕對(duì)值？可由求得或 ，這將是去掉絕對(duì)值的分界點(diǎn)，觀察函數(shù)的特征：一個(gè)三次函數(shù)，不難想到對(duì)其求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題：由或，即得與為單調(diào)增區(qū)間；又，可見(jiàn)為單調(diào)增區(qū)間，即可求解；（2）由條件，代入化簡(jiǎn)即為：，對(duì)所給范圍中先考慮特殊情況：當(dāng)時(shí)，上式對(duì)一切恒成立；再考慮當(dāng)時(shí)，即對(duì)一切恒成立，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為它的最大值問(wèn)題：，，分類(lèi)得：當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得，；當(dāng)時(shí)，由時(shí)，則，所以；由時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506111603474526/SYS201502150611323791885236_DA/SYS201502150611323791885236_DA.033.png">，且所以不會(huì)是最大值，將上述情況合并即可.

試題解析：（1）

或

或

所以與為單調(diào)增區(qū)間；

同理 或

所以為單調(diào)增區(qū)間

綜上 的單調(diào)增區(qū)間為， ，

（2）即．

當(dāng)時(shí)，上式對(duì)一切恒成立；

當(dāng)時(shí)，即對(duì)一切恒成立．

∴，

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得，∴

當(dāng)時(shí)，（ⅰ）若，則，所以

（ⅱ）若，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506111603474526/SYS201502150611323791885236_DA/SYS201502150611323791885236_DA.033.png">，且所以不會(huì)是最大值；

所以

得

考點(diǎn)：1.含有絕對(duì)值的函數(shù)的處理；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用；3.分類(lèi)討論的應(yīng)用