Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2x，若方程f（x）=ax恰好有5個不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意先求出函數(shù)的周期，要使關(guān)于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點(diǎn)都是奇函數(shù)其中有一個交點(diǎn)肯定是原點(diǎn)，只需考慮（0，+∞）有兩個交點(diǎn)即可，畫出圖象即可求出a的值．

解答： 解：因?yàn)閒（1+x）-f（1-x）=0恒成立，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
再根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，x∈[0，1]時，f（x）=2x，可得x∈[-1，1]時，f（x）=2x，
所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)（且該函數(shù)最大值與最小值分別為2和-2）．
要使關(guān)于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點(diǎn)即可．
由于這兩個函數(shù)都是奇函數(shù)，其中有一個交點(diǎn)肯定是原點(diǎn)，只需考慮（0，+∞）有兩個交點(diǎn)即可
畫出函數(shù)圖象如下：
當(dāng)a=

2

5

，即 f（x）=ax過點(diǎn)（5，2））時，恰好5個交點(diǎn)，
當(dāng)a＜0時，a的范圍在（k₁，k₂）之間，k₁=-

2

3

，k₂=-

2

7

，即-

2

3

＜a＜-

2

7

，
故答案為：（-

2

3

，-

2

7

）∪{

2

5

}．

點(diǎn)評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，同時考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．