Question

已知O為坐標原點，點A（2，1），B（1，2），對于k∈N^*有向量

OPk

=k

OB

+

OA

，
（1）試問點P_k是否在同一條直線上，若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由；
（2）是否在存在k∈N^*使P_k在圓x²+（y-2）²=5上或其內(nèi)部，若存在求出k，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的線性運算即可證明；
（2）先判斷直線與圓的位置關(guān)系，進而即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）點P_k（k∈N^*）在同一條直線上，直線方程為y=2x-3．
證明如下：設(shè)P_k（x_k，y_k），則（x_k，y_k）=k（1，2）+（2，1），
∴

xk=k+2 yk=2k+1

，
∴y_k=2x_k-3．
∴點P_k在直線y=2x-3上．
（2）由圓x²+（y-2）²=5的圓心（0，2）到直線y=2x-3的距離為

|-2-3|

5

=

5

=r，
可知直線與圓相切，∴直線與圓及內(nèi)部最多只有一個公共點．
聯(lián)立

y=2x-3 x2+(y-2)2=5

解得

x=2 y=1

．
∴切點的坐標為：（2，1），此時k=0不滿足題意，所以不存k∈N^*滿足題意．

點評：熟練掌握向量的線性運算和直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解題的關(guān)鍵．