Question

四川省是最后一批進(jìn)入新課標(biāo)實(shí)施的省份之一，數(shù)學(xué)課將有一些深受學(xué)生喜愛的選修課．某中學(xué)在高一擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》等4門不同的選修課，規(guī)定每個學(xué)生必須選修，且只能從中選修一門．已知該校高一的三名學(xué)生甲、乙、丙對這4門不同的選修課的興趣相同．
（Ⅰ）求甲、乙、丙這三個學(xué)生選修《數(shù)學(xué)史》這門課的人數(shù)不少于2的概率；
（Ⅱ）求4門選修課中恰有2門選修課這三個學(xué)生都沒有選擇的概率．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，首先由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算3人選4門不同的選修課的情況種數(shù)，
（Ⅰ）選修《數(shù)學(xué)史》這門課的人數(shù)不少于2，包含有2人選修或3人選修兩種情況，分別計(jì)算2人選修與3人選修的概率，進(jìn)而由分類計(jì)數(shù)原理，將2種情況的概率相加可得答案；
（Ⅱ）恰有2門選修課這3個學(xué)生都沒有選擇的概率，即3名學(xué)生選修了4門中的2門，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由等可能事件的概率，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，3人選4門不同的選修課的種數(shù)為4³，
（Ⅰ）三個學(xué)生選修《數(shù)學(xué)史》這門課的人數(shù)不少于2，包含有2人選修或3人選修兩種情況，
 2人選修時，從3人中選出2人選修《數(shù)學(xué)史》，剩余1人選其他3門中的1門即可，則其概率P₁=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，
3人選修時，即三人全都選修《數(shù)學(xué)史》，其概率P₂=

C 3 3

43

=

1

64

，
∴P3=

9

64

+

1

64

=

5

32

．
（Ⅱ）恰有2門選修課這3個學(xué)生都沒有選擇的概率，即3名學(xué)生選修了4門中的2門，
先從4門選修課中選出2門，作為選修的課程，將3名學(xué)生分為2組，一組2人，另一組1人，最后考慮其順序，共有C₄²•C₃³•A₂²種情況，
則其概率P=

C 2 4 • C 2 3 • A 2 2

43

=

9

16

．

點(diǎn)評：本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，涉及互斥事件的概率計(jì)算，注意3人選4門不同的選修課的種數(shù)為4³，而不是3⁴．