Question

6．根據(jù)下列條件求雙曲線的標準方程．   
（1）已知雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{2}{3}$x，且過點M（$\frac{9}{2}$，-1）；
（2）與橢圓$\frac{x^2}{49}$+$\frac{y^2}{24}$=1有公共焦點，且離心率e=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的漸近線設(shè)出雙曲線的漸近線系方程進行求解即可．
（2）根據(jù)條件設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法進行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，
∴可設(shè)雙曲線的方程為4x²-9y²=λ（λ≠0）．
又∵雙曲線過點M（$\frac{9}{2}$，-1），
∴λ=4×$\frac{81}{4}$-9=72．
∴雙曲線方程為4x²-9y²=72，即$\frac{x2}{18}$-$\frac{y2}{8}$=1．
（2）解法1（設(shè)標準方程）
由橢圓方程可得焦點坐標為（-5，0），（5，0），
即c=5且焦點在x軸上，
∴可設(shè)雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），且c=5．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，∴a=4，∴b²=c²-a²=9．
∴雙曲線的標準方程為$\frac{x2}{16}$-$\frac{y2}{9}$=1．
解法2（設(shè)共焦點雙曲線系方程）
∵橢圓的焦點在x軸上，
∴可設(shè)雙曲線方程為$\frac{x2}{49-λ}$-$\frac{y2}{λ-24}$=1（24＜λ＜49）．
又e=$\frac{5}{4}$，∴$\frac{λ-24}{49-λ}$=$\frac{25}{16}$-1，解得λ=33．
∴雙曲線的標準方程為$\frac{x2}{16}$-$\frac{y2}{9}$=1．

點評 本題主要考查雙曲線的方程的求解，根據(jù)條件設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．