Question

4．（1+x-2x²）⁵的展開式中x⁴項的系數(shù)為-15．

Answer 1

分析 由（1+x-2x²）⁵=[1+x（1-2x）]⁵，利用二項式展開式的通項公式，即可求出（1+x-2x²）⁵的展開式中x⁴項的系數(shù)．

解答 解：因為（1+x-2x²）⁵=[1+x（1-2x）]⁵，
其展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•[x（1-2x）]^r=${C}_{5}^{r}$•x^r•[$\sum_{k=0}^{r}$${C}_{r}^{k}$•（-2x）^k]=${C}_{5}^{r}$•[$\sum_{k=0}^{r}$${C}_{r}^{k}$•（-2）^k•x^k+r]；
令k+r=4，且0≤r≤5，0≤k≤r，k、r∈N，
則$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{k=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{k=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{k=2}\end{array}\right.$；
所以（1+x-2x²）⁵的展開式中x⁴項的系數(shù)為：
${C}_{5}^{4}$•${C}_{4}^{0}$+${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$•（-2）+${C}_{5}^{2}$•${C}_{2}^{2}$•（-2）²=-15．
故答案為：-15．

點評 本題考查了二項式展開式定理的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)用展開式的通項公式求特定項的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．