Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，|AB|=

5

，離心率

3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)A作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于另外一點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于|AB|=

5

，離心率

3

2

．可得

a2+b2

=

5

，

c

a

=

3

2

，又a²=b²+c²，解得即可．
（2）由于k_AB=-

b

a

=-

1

2

．設(shè)與直線AB平行的橢圓的切線為y=-

1

2

x+m．與橢圓的方程聯(lián)立，利用△=0，可得m．解得切點(diǎn)C時(shí)，△ABC面積取得最大值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線ABy=-

1

2

x+1的距離d，即可得到△ABC面積取得最大值=

1

2

•d•|AB|．計(jì)算此時(shí)直線l的斜率k即可得出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵|AB|=

5

，離心率

3

2

．
∴

a2+b2

=

5

，

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，
解得c²=3，a²=4，b²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）∵k_AB=-

b

a

=-

1

2

．
設(shè)與直線AB平行的橢圓的切線為y=-

1

2

x+m．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+m x2+4y2=4

，化為2x²-4mx+4m²-4=0，（*）
∵△=16m²-4×2×（4m²-4）=0，
解得m=±

2

．
取m=-

2

，
則（*）化為：2x2+4

2

x+4=0，
解得x=-

2

，
代入y=-

1

2

x-

2

，可得y=-

1

2

2

．
∴當(dāng)取C(-

2

，-

2

2

)時(shí)，△ABC面積取得最大值，
點(diǎn)C到直線ABy=-

1

2

x+1的距離d=

|- 1 2 ×(- 2 )+ 2 2 +1|

1 4 +1

=

2 10 +2 5

5

．
|AB|=

5

．
∴△ABC面積取得最大值=

1

2

×

2 10 +2 5

5

×

5

=

2

+1．
此時(shí)直線l的斜率k=

2 2

2+ 2

=

2 -1

2

．
∴直線l的方程為y=

2 -1

2

(x-2)，即y=

2 -1

2

x+1-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．