Question

1．已知θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且sinθ-cosθ=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，則$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{cos（\frac{π}{4}+θ）}$等于（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 法1：由已知的等式記作①，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)系式，記作②，再根據(jù)θ為銳角，聯(lián)立①②求出sinθ和cosθ的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式分別求出所求式子的分子與分母，代入即可求出所求式子的值．
法2：利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡已知條件以及所求表達(dá)式，通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可．

解答 解：法1：由sinθ-cosθ=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，①，
又sin²θ+cos²θ=1②，且θ∈（0，$\frac{π}{4}$），聯(lián)立①②解得：sinθ=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{14}}{8}$，cosθ=$\frac{\sqrt{14}+3\sqrt{2}}{8}$，
∴$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{cos（\frac{π}{4}+θ）}$=$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）=$\sqrt{2}（\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{14}}{8}+\frac{\sqrt{14}+3\sqrt{2}}{8}）$=$\frac{3}{2}$．
故選：D．
法2：θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且sinθ-cosθ=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，可得$\sqrt{2}$cos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，即：cos（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
$θ+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），
則$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{cos（\frac{π}{4}+θ）}$=$\frac{cos2θ}{cos（\frac{π}{4}+θ）}$=$\frac{2sin（\frac{π}{4}+θ）cos（\frac{π}{4}+θ）}{cos（\frac{π}{4}+θ）}$=2sin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{1-（{\frac{\sqrt{7}}{4}）}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點評 此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．