Question

選修4～4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位．且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（I）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A，B．若點P的坐標為（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可將圓C極坐標方程化為直角坐標方程；
（II）先根據(jù)（I）得出圓C的普通方程，再根據(jù)直線與交與交于A，B兩點，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關系結合直線參數(shù)方程的幾何意義，表示出|PA|+|PB|，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質，即可得到求解最小值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，化為直角坐標方程為x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0．
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，故可設t₁，t₂是上述方程的兩根，
所以

t1+t2=-2(cosα-sinα) t1•t2=-7

又直線l過點（1，2），
故結合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosα-sinα)2+28

=

32-4sin2α

≥

32-4

=2

7

．
所以|PA|+|PB|的最小值為2

7

．

點評：此題主要考查參數(shù)方程的優(yōu)越性，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．