Question

11．設函數f（x）=3x-mx³，若對任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≤1，則實數m的值為4．

Answer 1

分析 求出函數的導函數，對二次項系數分類討論，確定導函數的正負，得出原函數的單調性，求出在閉區(qū)間上函數的最大值即可．

解答 解：由題意，f′（x）=-3mx²+3，
當m≤0時-3mx²+3＞0，函數是增函數，f（1）=3-m，只需f（1）≤1即可，解得m≥2，不成立，
當m＞0時，令f′（x）=-3mx²+3=0解得x=±$\frac{\sqrt{m}}{m}$，
①當x＜-$\frac{\sqrt{m}}{m}$或x＞$\frac{\sqrt{m}}{m}$ 時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數，
②當-$\frac{\sqrt{m}}{m}$≤x≤$\frac{\sqrt{m}}{m}$時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數，
∵函數為奇函數，
∴x∈[-1，1]，f（x）的最大值為f（1）或f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）或f（-1），
∴f（1）≤1，得m≥2，f（-1）≤1，得m≤4，
f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）≤1得，m≥4，
綜上a=4為所求．
故答案為：4．

點評 考查了導函數的分類討論，確定原函數的單調性問題和恒成立問題的轉換．