Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，G分別是BC₁和AA₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線DE與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接EG，EF，AF，
則AG∥EF，且AG=EF
∴四邊形AGEF是平行四邊形
∴EG∥AF
又∵EG?平面ABCD，AF?平面ABCD
∴EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接DF，由（Ⅰ）知，∠EDF為直線DE與平面ABCD所成角
∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴EF=1，DF==
∴DE==
∴直線DE與平面ABCD所成角的余弦值為==．
分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)F，連接EG，EF，AF，證明四邊形AGEF是平行四邊形，可得EG∥AF，利用線面平行的判定，可得EG∥平面ABCD；
（Ⅱ）連接DF，由（Ⅰ）知，∠EDF為直線DE與平面ABCD所成角，進(jìn)而可求直線DE與平面ABCD所成角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查線面角，掌握線面平行的判定方法是關(guān)鍵．