Question

已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)a＞0和任何實(shí)數(shù)x，都有f(ax)=af(x)

(Ⅰ)證明f(0)=0；

(Ⅱ)證明f(x)=其中k和h均為常數(shù);

(Ⅲ)當(dāng)(Ⅱ)中的k＞0時(shí)，設(shè)g(x)=+f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

Answer 1

證明：(Ⅰ)令x=0，則f(0)=af(0),∵a＞0,∴f(0)=0.

(Ⅱ)①令x=a，∵a＞0,∴x＞0，則f(x²)=xf(x).

    假設(shè)x≥0時(shí),f(x)=kx(k∈R).則f(x²)=kx²,而xf(x)=x·kx=kx².f(x²)=xf(x)，即f(x)=kx成立.

②令x=-a，∵a＞0,∴x＜0,f(-x²)=-xf(x).

    假設(shè)x＜0時(shí)，f(x)=hx(h∈R)，則f(-x²)=-hx²，而-xf(x)=-x·hx=-hx²,∴f(-x²)=-xf(x)，即f(x)=hx成立.∴f(x)=成立.

(Ⅲ)當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=+f(x)=+kx,g′(x)==

    令g′(x)=0，得x=1或x=-1;

    當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，∴g(x)是單調(diào)遞減函數(shù)；

    當(dāng)x∈［1,+∞］時(shí)，g′(x)＞0，∴g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；

    所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)取得極小值，極小值為g(1)=+k