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20.如圖,在△ABC中,AC=16,∠C=\frac{π}{6},點D在BC邊上,且BD=6\sqrt{3},tan∠ADB=\frac{2\sqrt{3}}{3}
(Ⅰ)求sin∠CAD及AB的長;
(Ⅱ)求△ABC的面積.

分析 (1)根據(jù)tan∠ADB=\frac{2\sqrt{3}}{3}求出sin∠ADB,cos∠ADB,利用外角的性質得出sin∠CAD=sin(∠ADB-∠C);在△ACD中使用正弦定理解出AD,在△ABD中使用余弦定理求出AB;
(2)分別求出△ABD和△ACD的面積即可.

解答 解:(1)△ABC中,∵tan∠ADB=\frac{2\sqrt{3}}{3},
∴sin∠ADB=\frac{2\sqrt{7}}{7},cos∠ADB=\frac{\sqrt{21}}{7}
∵∠C+∠CAD=∠ADB,
∴sin∠CAD=sin(∠ADB-∠C)=sin∠ADBcos∠C-cos∠ADBsin∠C=\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{14}
∵∠ADC+∠ADB=180°,∴sin∠ADC=sin∠ADB=\frac{2\sqrt{7}}{7}
在△ACD中,由正弦定理得:\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC},即\frac{AD}{\frac{1}{2}}=\frac{16}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}
解得AD=4\sqrt{7}
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos∠ADB=56,
∴AB=\sqrt{56}=2\sqrt{14}
(2)S△ABC=S△ACD+S△ABD=\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD+\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB
=\frac{1}{2}×16×4\sqrt{7}×\frac{\sqrt{21}}{14}+\frac{1}{2}×4\sqrt{7}×6\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{7}}{7}
=40\sqrt{3}

點評 本題考查了利用正余弦定理解三角形的應用,三角形的面積計算,屬于中檔題.

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