Question

將面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為a_i（i=1，2，3，4），此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為h_i（i=1，2，3，4），若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，則

4

i=1

ihi=

2S

k

；類比以上性質(zhì)，將體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為H_i（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為H_i（i=1，2，3，4），若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，則

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：規(guī)律型,推理和證明

分析：由

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k可得a_i=ik，P是該四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，將P與四邊形的四個(gè)定點(diǎn)連接，得四個(gè)小三角形，四個(gè)小三角形面積之和為四邊形面積，即采用分割法求面積；同理對(duì)三棱值得體積可分割為5個(gè)已知底面積和高的小棱錐求體積．

解答： 解：根據(jù)三棱錐的體積公式V=

1

3

Sh．
得：

1

3

S₁H₁+

1

3

S₂H₂+

1

3

S₃H₃+

1

3

S₄H₄=V，
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，
∴H₁+H₂+3H₃+4H₄=

3V

k

故答案為：H₁+H₂+3H₃+4H₄=

3V

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的體積計(jì)算和運(yùn)用類比思想進(jìn)行推理的能力．解題的關(guān)鍵是理解類比推理的意義，掌握類比推理的方法．