Question

11．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展開式中x的次數(shù)最大為4．
（1）求這個二項(xiàng)式的n值；
（2）求這個展開式的一次項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用展開式的通項(xiàng)公式可得展開式中x的次數(shù)最大為$\frac{2n}{4}$=4，由此求得這個二項(xiàng)式的n值．
（2）令展開式中x的次數(shù)等于1，求得r的值，可得這個展開式的一次項(xiàng)．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
由于展開式中x的次數(shù)最大為$\frac{2n}{4}$=4，故這個二項(xiàng)式的n=8．
（2）在展開式的通項(xiàng)公式 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$ 中，
 令4-$\frac{3r}{4}$=1，可得r=4，故這個展開式的一次項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$•2^-4•x=$\frac{35}{8}$x．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．